Question

【题目】数学课上，李老师出示了如下框中的题目．


小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．

Answer 1

【答案】
（1）=
（2）=
（3）

解：分为四种情况：

如图1：

∵AB=AC=1，AE=2，

∴B是AE的中点，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），

∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，

∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，

即△DEB是直角三角形．

∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），

即CD=1+2=3．

如图2，

过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，

∵等边三角形ABC，EC=ED，

∴BN=CN= BC= ，CM=MD= CD，AN∥EM，

∴△BAN∽△BEM，

∴ ，

∵△ABC边长是1，AE=2，

∴ = ，

∴MN=1，

∴CM=MN﹣CN=1﹣ = ，

∴CD=2CM=1；

如图3，

∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，

∴此时不存在EC=ED；

如图4

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ECD＞∠EDC，

即此时ED≠EC，

∴此时情况不存在，

答：CD的长是3或1．

【解析】解：（1.）答案为：=．
（2.）答案为：=．
证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，
∴AE=AF=EF，
∴AB﹣AE=AC﹣AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD．
（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可．