Question

【题目】在平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长的数值与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P分別作x轴，y轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长的数值与面积的数值相等，则点P是和谐点．
（1）判断点M（1，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4），

∴点M不是和谐点，点N是和谐点

（2）解：由题意得：①当a＞0时，

∵y=﹣x+b，P（a，3），

∴3=﹣a+b，

∴b=a+3．

∴（a+3）×2=3a，

∴a=6，

点P（a，3）在直线 y=﹣x+b上，代入得：b=9

②当a＜0时，（﹣a+3）×2=﹣3a，

∴a=﹣6，

点P（a，3）在直线y=﹣x+b上，代入得：b=﹣3，

∴a=6，b=9或a=﹣6，b=﹣3

【解析】（1）计算1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4）即可；（2）当a＞0时，根据（a+3）×2=3a，求出a，进一步求出b；当a＜0时，根据（﹣a+3）×2=﹣3a求出a进一步求出b．