Question

【题目】如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E在上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF．

（1）求证：CF⊥AB；

（2）若CD=4，CB=4，cos∠ACF=，求EF的长．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）2.

【解析】试题分析：（1）连接BD，由AB是 O的直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质得到∠CFA=180°-（DAB+∠3）=90°，于是得到结论；

（2）连接OE，由∠ADB=90°，得到∠CDB=180°-∠ADB=90°，根据勾股定理得到DB==8解直角三角形得到CD=4，根据勾股定理即可得到结论．

试题解析：（1）连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠1=90°，

∵∠1=∠2，∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴∠DAB+∠3=90°，

∴∠CFA=180°﹣（DAB+∠3）=90°，

∴CF⊥AB；

（2）连接OE，

∵∠ADB=90°，

∴∠CDB=180°﹣∠ADB=90°，

∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4，

∴DB==8，

∵∠1=∠3，

∴cos∠1=cos∠3==，

∴AB=10，

∴OA=OE=5，AD==6，

∵CD=4，∴AC=AD+CD=10，

∵CF=ACcos∠3=8，

∴AF==6，

∴OF=AF﹣OA=1，

∴EF==2．