Question

【题目】如图，矩形ABCD中，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，点A与点E重合；

（1）如图1，若AB=10，BC=6，点E落在CD边上，求AP的长；

（2）如图2，若AB=8，BC=6， PE与CD相交于点O，且OE=OD，求AP的长；

（3）如图3，若AB=4，BC=6，点P是AD的中点，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）（2）4.8（3）3.6

【解析】试题分析：（1）在Rt△BCE中，BC＝6，BE＝AB＝10，根据勾股定理求出CE的值为8，则DE＝10－8＝2，设AP=x，则PE=x,DP＝6－x，在Rt△DPE中，根据勾股定理得出方程，解方程即可；

（2）由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可；

(3)以点A为原点建立平面直角坐标系，则点A(0,0),B(4,0),C(4,6),D(0,6),P(0,3),设点E的坐标为（x,y）,根据PE＝PA＝3可得，PE= ,BE= ,解得y= ,再将y= 代入中得，x()=0，所以x=0或x= ,所以y= ,再根据DE＝ ；

试题解析：

（1）∵△ABP沿BP翻折至△EBP，点A与点E重合，AB=10，

∴BE＝AB＝10，PE＝AP，

∴在Rt△BCE中，CE＝ ，

∴DE＝CD－CE＝2，

设AP=x,则DP=6-x

∵在Rt△DPE中,DP2+DE2=PE2,

∴(6-x)2+22=x2,

∴x= ;

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，
在△ODP和△OEG中，

∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG，PD=GE，
∴DG=EP，
设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，
∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，
根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，
即62+（8-x）2=（x+2）2，
解得：x=4.8，
∴AP=4.8；

（3）以点A为原点建立平面直角坐标系，则点A(0,0),B(4,0),C(4,6),D(0,6),P(0,3),设点E的坐标为（x,y）,根据PE＝PA＝3可得，

PE= ,BE= ,

解得y= ,

把y= 代入中得，

x()=0，

所以x=0（舍去）或x= ,

所以y= ,

∴DE＝ ；