Question

【题目】等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是AC上一点。点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接CF

（1）如图1，找到与∠CFB相等的角，并证明

（2）如图2，如当∠ABC=60°，AF=m，EF=n时，求FB的长（用含m、n的式子表示）

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) m+n.

【解析】

（1）证△EAF≌△CAF，推出EF=CF，∠E=∠ACF，根据等腰三角形性质推出∠E=∠ABF，即可得出答案；
（2）在FB上截取BM=CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等边三角形，推出MF=AF，即可得出答案；

证明：（1）∠CFB=∠CAB，
∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，

，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF，
∵∠ADB=∠CDF，
∴∠CFB=∠CAB；
（2）如图2，

∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在FB上截取BM=CF，连接AM，
在△ABM和△ACF中，

，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形，
∴AF=AM=MF，
∴AF+EF=BM+MF=FB，
∵AF=m，EF=n，
即FB=m+n.