Question

【题目】如图（1），平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°．

（1）求AB的长度；

（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点,求证：BD=OE；

（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F,求证：F为DE的中点．

Answer 1

【答案】(1)2;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

（1）直接运用直角三角形30°角的性质即可．
（2）连接OD，易证△ADO为等边三角形，再证△ABD≌△AEO即可．
（3）作EH⊥AB于H，先证△ABO≌△AEH，得AO=EH，再证△AFD≌△EFH即可．

（1）解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，
∴AB=2BO=2；
（2）证明：连接OD，

∵△ABE为等边三角形，
∴AB=AE，∠EAB=60°，
∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D，
∴∠DAO=60°．
∴∠EAO=∠NAB
又∵DO=DA，
∴△ADO为等边三角形．
∴DA=AO．
在△ABD与△AEO中，
∵，
∴△ABD≌△AEO（SAS）．
∴BD=OE．
（3）证明：作EH⊥AB于H．
∵AE=BE，∴AH=AB，
∵BO=AB，∴AH=BO，
在Rt△AEH与Rt△BAO中，

，
∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），
∴EH=AO=AD．
又∵∠EHF=∠DAF=90°，
在△HFE与△AFD中，

，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF=DF．
∴F为DE的中点．