Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论： ⑴b2﹣4ac＞0；
⑵2a=b；
⑶点（﹣ ，y1）、（﹣ ，y2）、（ ，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3；
⑷3b+2c＜0；
⑸t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）．
其中正确结论的个数是（ ）

A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】C
【解析】解：（1）由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，

∴关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac＞0，

∴（1）正确；（2）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，

∴﹣ =﹣1，

∴2a=b，

∴（2）正确；（3）∵抛物线的对称轴为x=﹣1，点（ ，y3）在抛物线上，

∴（﹣ ，y3）．

∵﹣ ＜﹣ ＜﹣ ，且抛物线对称轴左边图象y值随x的增大而增大，

∴y1＜y3＜y2．

∴（3）错误；（4）∵当x=﹣3时，y=9a﹣3b+c＜0，且b=2a，

∴9a﹣3×2a+c=3a+c＜0，

∴6a+2c=3b+2c＜0，

∴（4）正确；（5）∵b=2a，

∴方程at2+bt+a=0中△=b2﹣4aa=0，

∴抛物线y=at2+bt+a与x轴只有一个交点，

∵图中抛物线开口向下，

∴a＜0，

∴y=at2+bt+a≤0，

即at2+bt≤﹣a=a﹣b．

∴（5）正确．

故选C．

【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数图象以及系数a、b、c的关系的相关知识，掌握二次函数y=ax2+bx+c中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上; a<0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c），以及对抛物线与坐标轴的交点的理解，了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．