Question

【题目】如图，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E.设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由.

Answer 1

【答案】是，理由见解析.

【解析】试题分析：分三种情况讨论：①若∠CFG1=∠ECD，此时线段CP是△CFG1的FG1边上的中线；②若∠CFG2=∠EDC，此时线段CP为△CFG2的FG2边上的高线；③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．

试题解析：

①若，此时线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.证明如下：

∵，∴.

又∵，∴.

∴. ∴.

又∵，∴. ∴.

∴线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.

②若，此时线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.证明如下：

∵，

又∵DE⊥AC，∴. ∴.

∴. ∴CP2⊥FG2.

∴线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.

③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.