Question

【题目】如图，点A，B的坐标分别为（0，8），（﹣3，0），点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿射线AO方向运动，同时点E从点B出发，以1单位/秒的速度沿射线BO方向运动，以PE为斜边构造Rt△PEC（字母按逆时针顺序），且EC=2PC，抛物线y=﹣2x2+bx+c经过点（0，4），（﹣1，﹣2），设运动时间为t秒．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）当t=2时，求点C的坐标；
（3）①当t＜3时，求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
②在运动过程中，若点C恰好落在该抛物线上，请直接写出所有满足条件的t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=﹣2x2+bx+c经过点（0，4），（﹣1，﹣2），

∴

∴ ，

∴抛物线的解析式为y=﹣2x2+4x+4．

（2）

解：如图1中，t=2时，EO=1，OP=4，设C（x，y），作CH⊥x轴于H，PQ⊥HC于Q．

∵∠PCQ+∠CPQ=90°，∠ECH+∠PCQ=90°，

∴∠CPQ=∠ECH，∵∠Q=∠CHE=90°，

∴△PCQ∽△CEH，

∴

∵EC=2PC，

∴ = = ，

∴x= ，y= ，

∴点C坐标（ ， ）

（3）

解：①如图1中，设C（x，y），则PO=8﹣2t，EH=3﹣t+x，CH=y，QC=8﹣2t﹣y，PQ=x，

∵△PCQ∽△CEH，

∴

∵EC=2PC，

∴ = = ，

∴x= ，y= ，

∴点C坐标（ ， ）．

②当t＜3时，如果点C在抛物线上，则有 =﹣2（ ）2+4 +4，

解得t=1或6（舍弃），

∴t=1时，点C在抛物线上．

当3≤t＜4时，由图象可知，不存在这样的点C在抛物线上，

当t＞4时，如图2中，作CH⊥x轴于H，PQ⊥HC于Q．

设C（x，y），则PO=2t﹣8，EH=t﹣3﹣x，CH=﹣y，QC=2t﹣8+y，PQ=﹣x，

∵△PCQ∽△CEH，

∴

∵EC=2PC，

∴ = = ，

∴x= ，y= ，

∴点C坐标（ ， ），

如果点C在抛物线上，则有 =﹣2（ ）2+4 +4，

解得t=6或1（舍弃），

∴t=6时，点C在抛物线上，

综上所述t=1或6s时，点C 抛物线上

【解析】（1）把（0，4），（﹣1，﹣2）代入抛物线解析式y=﹣2x2+bx+c，列方程组即可解决问题．（2）如图1中，t=2时，EO=1，OP=4，设C（x，y），作CH⊥x轴于H，PQ⊥HC于Q，由△PCQ∽△CEH，得 = = ，列出方程组，解方程组即可解决问题．（3）①如图1中，设C（x，y），则PO=8﹣2t，EH=3﹣t+x，CH=y，QC=8﹣2t﹣y，PQ=x，由△PCQ∽△CEH，得 = = ，由EC=2PC，可得 = = ，用t表示x、y即可解决问题．②分三种情形①t＜3时，列出方程即可解决问题．②3≤t＜4时，显然不存在这样的点C在抛物线上．③t＞4时，如图2中，作CH⊥x轴于H，PQ⊥HC于Q．设C（x，y），则PO=2t﹣8，EH=t﹣3﹣x，CH=﹣y，QC=2t﹣8+y，PQ=﹣x，由△PCQ∽△CEH，得到 = = ，解方程组即可得到点C坐标，代入抛物线即可解决问题．