【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P、点E分别是边AB、BC上的动点，连结DP、PE．将△ADP与△BPE分别沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点A′，B′处．

(1) 当点P运动到边AB的中点处时，点A′与点B′重合于点F处，过点C作CK⊥EF于K，求CK的长；

(2) 当点P运动到某一时刻，若P，A'，B'三点恰好在同一直线上，且A'B'＝4 ，试求此时AP的长．

参考答案：

【答案】（1）；（2）,PA的长为2或6．

【解析】

（1）由折叠的性质可得E ,F,D三点在同一直线上，在Rt△DEC中,根据勾股定理可求出BE，CE，DE的长，再根据面积法即可求出CK的值；

（2）分两种情况进行讨论：根据A′B′＝4列出方程求解即可.

⑴如图，

∵四边形ABCD为矩形，将△ADP与△BPE分别沿DP与PE折叠，

∴∠PFD＝∠PFE＝90°,

∴∠PFD＋∠PFE＝180°,即：E ,F,D三点在同一直线上．

设BE＝EF＝x,则EC＝6－x,

∵DC＝AB＝8, DF＝AD＝6,

在Rt△DEC中,∵DE＝DF＋FE＝6＋x, EC＝6－x, DC＝8,

∴(6＋x)2＝(6－x)2＋82,

计算得出x=,即BE＝EF＝,

∴DE＝, EC＝,

∵S△DCE＝DCCE＝DECK,

∴CK＝；

⑵①如图2中,设AP＝x,则PB＝8－x,

由折叠可知：PA′＝PA＝x , PB′＝PB＝8－x,

∵A′B′＝4,

∴8－x－x＝4,

∴x＝2, 即AP＝2．

②如图3中,

∵A′B′＝4,

∴x－(8－x)＝4, ∴x＝6, 即AP＝6．

综上所述,PA的长为2或6．

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