Question

【题目】如图，和中，，，，点在边上.

（1）如图1，连接，若，，求的长度；

（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转过程中，直线分别与直线交于点，当是等腰三角形时，直接写出的值；

（3）如图3，将绕点顺时针旋转，使得点在同一条直线上，点为的中点，连接.猜想和之间的数量关系并证明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）22.5°、112.5°、45°；（3）AE+CF=.

【解析】

（1）根据勾股定理求出AB的长，可得CE，再用勾股定理可得FC的长度；

（2）分别当CM=CN，MN=CN，MN=MC时，进行讨论即可；

（3）连接AP，延长AE交CF于点Q，由四点共圆可知∠AEP=45°，从而推出A、E、Q共线，再由垂直平分线的判定可知AQ垂直平分CF，即得△ABF为等腰三角形，得到AP⊥BF，则△AEP为等腰直角三角形，得到AE和PE的关系，再根据EF和FC的关系得到AE、CF、BP三者的数量关系.

解：（1），，，

∴AB==5，

∴EC=EF=3，

∴FC==；

（2）由题意可知△CMN中不会形成MN=MC的等腰三角形，

①当CM=CN时，

∠CNE=（180°-45°）=67.5°，

∵∠NEC=90°，

∴α=∠ACE=22.5°；

②当CM=CN时，α=∠ACE，

∵∠ACB=45°，

∴∠CNM=∠CMN=×45°=22.5°，

∵∠CEM=90°，

∴∠ECM=67.5°，

∴α=∠ACE=112.5°；

③当CN=MN时，此时CE与BC共线，

α=∠BCA=45°；

综上：当是等腰三角形时，α的值为：22.5°、112.5°、45°.

（3）AE+CF=

连接AP，延长AE交CF于点Q，

由题意可得：∠CEB=∠BAC=90°，

∴A、E、C、B四点共圆，

可得：∠AEB=∠ACB=45°，

且∠CEQ=45°，

∴∠EQC=90°，

可知点A在CF的垂直平分线上，

∴AC=AF=AB，

∵点P是BF中点，

∴AP⊥BF，

∴△APE为等腰直角三角形，

∴AE=，

又∵△EFC为等腰直角三角形，

∴CF=，

∴+==AE+CF，

∵BP=PF，

∴AE+CF=.