Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，点D在AC上，点E在BA的延长线上，连接BD，CE，AD=AE，BD=CE．

（1）若BD=，AD=1，求BC的长度；

（2）将图1中的BD延长，过点A作AF∥BC交BD延长线于点F，如图2，连接FC，若BC=BF，求证：CD=CF．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据直角三角形全等的判定HL证得Rt△BAD≌Rt△CAE，根据全等三角形的性质得出AB=AC，然后根据勾股定理得到AB的长，进而求出BC的长；

（2）作AM⊥BC于M，FN⊥BC于N．易知四边形AMNF是矩形，再根据矩形的性质和等腰三角形的三线合一的性质求解即可.

试题解析：（1）解：在Rt△BAD和△RtCAE中，

，

∴Rt△BAD≌Rt△CAE，

∴AB=AC，

∵AB===4，

∴BC=AB=4．

（2）作AM⊥BC于M，FN⊥BC于N．

∵AF∥BC，易知四边形AMNF是矩形，

∴AM=FN，

∵AB=AC，AM⊥BC，

∴AM=FN=BC=BF，

∴∠FBN=30°，

∵BF=BC，

∴∠BFC=∠BCFF=75°，

∵∠CDF=∠DBC+∠DCB=30°+45°=75°，

∴∠CDF=∠CFD，

∴CD=CF．