Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时，则称点P为图形W的“梦之点”.

（1）已知⊙O的半径为1.

①在点E（1,1），F（,－）,M(－2，－2)中，⊙O的“梦之点”为 ；

②若点P位于⊙O内部，且为双曲线（k≠0）的“梦之点”，求k的取值范围.

（2）已知点C的坐标为（1，t），⊙C的半径为，若在⊙C上存在“梦之点”P，直接写出t的取值范围.

（3）若二次函数的图象上存在两个“梦之点”，,且，求二次函数图象的顶点坐标.

Answer 1

【答案】（1）①F; ②（2）－1≤t≤3 ；（3）坐标为（），（）

【解析】试题分析：①根据 “梦之点”的概念直接判断即可.

②先求出⊙O的“梦之点”坐标为 和.将代入双曲线表达式中，得，即可求出k的取值范围.

⊙C 要和直线y=x的交点均为双曲线的“梦之点”， 在⊙C上存在“梦之点”P，即它们的必须有交点.

由“梦之点”定义可得: ，.则.

整理得，，解得，， . 把两个根代入中，求出的值，分别计算即可.

试题解析：（1）①F;

②∵⊙O的半径为1.

∴⊙O的“梦之点”坐标为 和.

又∵双曲线（k≠0）与直线y=x的交点均为圆的“梦之点”，

∴将代入双曲线表达式中，得，

∵点P位于⊙O内部.

∴,

（2）－1≤t≤3，

（3）由“梦之点”定义可得: ，.

则.

整理得，,

解得，， .

把两个根代入中，即,

解得，，.

当时，，其顶点坐标为

当时，，其顶点坐标为