Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点D为边BC上的点，连接AD，∠BAD=α，点D关于AB的对称点为E，点E关于AC的对称点为G，线段EG交AB于点F，连接AE，DE，DG，AG.

（1）依题意补全图形；

（2）求∠AGE的度数（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示线段EG与EF，AF之间的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）60°－α；（3）见解析

【解析】试题分析：根据题意补全图形即可.

根据轴对称的性质得：AE=AG=AD. ∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°+α，

∠EAG=2∠EAC=60°+2α，根据等腰三角形的性质，即可求出∠AGE的度数.

设AC交EG于点H根据∠BAC=30°，∠AHF=90°，得到

又因点E，G关于AC对称EG=2EH

试题解析：

（2）由轴对称性可知，AB为ED的垂直平分线，AC为EG的垂直平分线.

∴AE=AG=AD.

∴∠AEG=∠AGE，∠BAE=∠BAD=α,

∴∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°+α,

∴∠EAG=2∠EAC=60°+2α,

∴

或：∠AGE=∠AEG=90°－∠EAC=90°－（∠BAC+∠EAB）=90°－（30°+α）=60°－α,

（3）EG=2EF+AF,

法1：设AC交EG于点H,

∵∠BAC=30°，∠AHF=90°,

∴

又∵点E，G关于AC对称,

∴EG=2EH,

∴

法2：在FG上截取NG=EF，连接AN.

又∵AE=AG，

∴∠AEG=∠AGE,

∴△AEF≌△AGN,

∴AF=AN,

∵∠EAF=α，∠AEG=60°－α,

∴∠AFN=60°,

∴△AFN为等边三角形,

∴AF=FN,

∴EG=EF+FN+NG=2EF+AF.