Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，

∴∠B=30°．

又∵AB=12cm，

∴AC=6cm，BP=2t，AP=AB﹣BP=12﹣2t，AQ=t

（2）解：∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，

∴AP=AQ，即12﹣2t=t，

∴当t=4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形

（3）解：当PQ⊥AC时，PQ∥BC．

∵∠C=90°，∠A=60°，

∴∠B=30°

∵PQ∥BC，

∴∠QPA=30°

∴AQ= AP，

∴t= （12﹣2t），解得t=3，

∴当t=3时，PQ∥BC

【解析】（1）由题意，可知∠B=30°，AC=6cm．BP=2t，AP=AB﹣BP，AQ=t．（2）若△APQ是以PQ为底的等腰三角形，则有AP=AQ，即12﹣2t=t，求出t即可．（3）先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，再由平行线的性质得出∠QPA的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行线的判定(同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行)，还要掌握等腰三角形的判定(如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等)的相关知识才是答题的关键．