Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连OM，BM，设运动时间为t秒（t=0），在点M的运动过程中，当∠OMB=90°时，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，

∴ ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x﹣2

（2）解：∵y=﹣ x2+ x﹣2=﹣ （x﹣2）2+ ，

∴D（2， ），

设M（2，m），

∵O（ 0，0），B（3，0），

∵∠OMB=90°，

∴OM2+BM2=OB2，

即m2+22+（3﹣2）2+m2=9，

∴m= ，

∵ ＞ ，

∴M（2，﹣ ），

∴DM= + ，

∴t= +

【解析】（1）把A（1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx﹣2，即可得到结果；（2）由y= x2+ x﹣2= （x﹣2）2+ ，得到D（2， ），设M（2，m），根据勾股定理列方程得到M（2，﹣ ），于是得到结论．
【考点精析】关于本题考查的抛物线与坐标轴的交点，需要了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能得出正确答案．