【题目】在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．

（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．

（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：

①求出点A，B，C的坐标．

②在P点右侧的反比例函数图像是否存在上点M，使△MBP的面积等于菱形ABCP面积．若存在，试求出满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．

参考答案：

【答案】（1）四边形为正方形，理由见解析；（2）A（0，），B（1，0），C（3，0）．M（）

【解析】

试题分析：（1）根据AP、PK是圆的半径可得出AP=PK，再由轴，轴，可得出结论；

（2）①连接PB，设点P（x，），过点P作与G，则半径，有菱形的性质得，可知等边三角形，在中，，PB=PA=x，，利用sin，列方程求x即可．

②先根据菱形的性质得出P点的坐标，再由待定系数法求出直线BP的解析式，设出M点的坐标，根据的面积等于菱形ABCP的面积得出m的值，进而可得出点M的坐标．

试题解析：

（1）四边形OKPA是正方形．

∵⊙P分别与两坐标轴相切，

∴，．

∴．

∵，

∴．

∴四边形OKPA是矩形．

∵AP=KP，

∴四边形OKPA是正方形．

（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为，

过点P作PG⊥BC于G．

∵四边形ABCP为菱形，

∴BC=PA=PB=PC（半径）．

∴为等边三角形．

在中，，，．

，即．

解得：（负值舍去）．

∴，．

易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，

∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3

∴可求得：A（0，），B（1，0） C（3，0）．

②利用B（1，0），P（2， ）易得BP: y= x-

过M作ME∥x轴，交线段BP于点E

设M（m，），则E（+1 ， ）

ME=m--1

由MBP的面积=菱形ABCP的面积得：（m--1）=

化简得，解得（舍）

所以M（，）

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