Question

【题目】如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，取BC的中点P．当点B从点O向x轴正半轴移动到点M（2，0）时，则点P移动的路线长为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图所示，过P作PD⊥x轴于D，作PE⊥y轴于E，则∠DPE=90°，∠AEP=∠BDP=90°，
连接AP，

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP= BC=BP，且AP⊥BC，即∠APB=90°，
∴∠APE=∠BPD，
在△AEP和△BDP中，
，
∴△AEP≌△BDP（AAS），
∴PE=PD，
∴点P的运动路径是∠AOM的角平分线，
如图所示，当点B与点O重合时，AB=AO=1，OC= ，
∴OP= OC= ；

如图所示，当点B与点M重合时，过P作PD⊥x轴于D，作PE⊥y轴于E，连接OP，

由△AEP≌△BDP，可得AE=BD，
设AE=BD=x，则OE=1+x，OD=2﹣x，
∵矩形ODPE中，PE=PD，
∴四边形ODPE是正方形，
∴OD=OE，即2﹣x=1+x，
解得x= ，
∴OD=2﹣ = ，
∴等腰Rt△OPD中，OP= OD= ，
∴当点B从点O向x轴正半轴移动到点M时，则点P移动的路线长为 ﹣ = ．
故答案为： ．
先过P作PD⊥x轴于D，作PE⊥y轴于E，根据△AEP≌△BDP（AAS），得出PE=PD，进而得到点P的运动路径是∠AOM的角平分线，再分别求得当点B与点O重合时，OP= OC= ，当点B与点M重合时，OP= OD= ，进而得到点P移动的路线长．