Question

【题目】已知：如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④；⑤；其中正确结论的序号是( )

A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积；④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．

①∵∠EAB+∠BAP=90°,∠PAD+∠BAP=90°，

∴∠EAB=∠PAD，

又∵AE=AP，AB=AD，

∴△APD≌△AEB(故①正确)；

③∵△APD≌△AEB，

∴∠APD=∠AEB，

又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，

∴∠BEP=∠PAE=90°，

∴EB⊥ED(故③正确)；

②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，

∵AE=AP,∠EAP=90°,

∴∠AEP=∠APE=45°，

又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，

∴∠FEB=∠FBE=45°，

又∵BE=，

∴BF=EF= (故②不正确)；

④如图，连接BD，在Rt△AEP中，

∵AE=AP=1，

∴EP=，

又∵PB=，

∴BE=，

∵△APD≌△AEB，

∴PD=BE=，

∴S+S=SS=S×DP×BE=×(4) ××=+.(故④不正确).

⑤∵EF=BF=，AE=1，

∴在Rt△ABF中,

∴S=AB=4+(故⑤正确)；

故选：D.