Question

【题目】如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．

（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；

（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．

Answer 1

【答案】（1）BF∥AG．理由见解析；（2）.

【解析】试题分析: （1）利用已知得出正八边形,它的内角都为135°,再利用正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称,得出∠2+∠3=180°,进而得出答案,

（2）根据题意得出△PAH≌△QCB≌△MDE,则PA=QB=QC=MD,即PQ=QM,故四边形PQMN是正方形,进而求出PQ的长即可得出答案.

试题解析（1）连接BF,则有BF∥AG,

理由如下:

∵ABCDEFGH是正八边形,

∴它的内角都为135°,

又∵HA=HG,

∴∠1=22.5°,

从而∠2=135°﹣∠1=112.5°,

由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称,

∴∠3＝135°=67.5°

即∠2+∠3=180°,故BF∥AG,

（2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°,

∴∠P=90°,同理可得∠Q=∠M=90°,

∴四边形PQMN是矩形．

又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°,AH=BC=DE,

∴△PAH≌△QCB≌△MDE,

∴PA=QB=QC=MD,即PQ=QM,

故四边形PQMN是正方形．

在Rt△PAB中,

∵∠PAH=45°,AB=2,

∴ PA=ABsin45°=2,

∴ PQ=PA+AB+BQ=+2+=2+2,

故四边形PQMN的面积 ==12+8.