Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的动点（不与点B，C，D重合），且∠EAF=45°，AE、AF与对角线BD分别相交于点G、H,连接EH、EF,则下列结论：① △ABH∽△GAH; ② △ABG∽△HEG; ③ AE= AH; ④ EH⊥AF; ⑤ EF=BE+DF
其中正确的有（ ）个。

A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】D
【解析】①BD是正方形ABCD的对角线，所以∠ABD=45°，
∵∠EAF=45°，∴∠ABD=∠EAF=45°.
∵∠AHB=∠AHG，∴ ABH∽ GAH，即①正确。
②四边形ABCD是正方形，BD为其对角线，所以∠DBC=45°.
∵∠EAF=45°，∴∠EAF=∠DBC.
∴ AGD∽ BGE， ，即
∵∠AGB=∠HE，∴△ABG∽△HEG.
故②正确.
③由②知△ABG∽△HEG，则∠ABG=∠AEH.
易知∠ABG=45°，所以∠AEH=45°.
∵∠EAH=45°，∴ AEH是等腰直角三角形.
∴ = ，AE= AH
即③正确.
④由③知 AEH是等腰直角三角形，所以EH⊥AF，即④正确。
⑤将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM.

易知BM=DF，∠DAF=∠BAM，AF=AM
四边形ABCD为正方形，∠EAF=45°，则∠BAE+∠DAF=45°
即∠BAM+∠BAE=∠MAE=45°.
∵AE=AE
∴ AFE≌ AME，ME=EF.
∵ME=MB+BE=DF+BE
∴EF=BE+DF。
所以五个命题都是正确，答案为D.
根据相似三角形的判定，证明三角形相似。对于最后一问，注意问题的转化，通过作辅助线，证明ME=EF=EB+DF。