Question

【题目】如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．
（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．求证：△AGE≌△AFE；
（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAD=90°．

又∵∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°．

∴∠BAG+∠BAE=45°．

∴∠GAE=∠FAE．

在△GAE和△FAE中 ，

∴△GAE≌△FAE（SAS）；

（2）解：如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°．

由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．

∴∠NDM′=90°．

∴NM′2=ND2+DM′2．

∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，

∴∠EAF=∠FAM′=45°．

在△AMN和△ANM′中， ，

∴△AMN≌△ANM′（SAS）．

∴MN=NM′．

又∵BM=DM′，

∴MN2=ND2+BM2．

【解析】（1）由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下来在证明∠GAE=∠FAE，然后依据SAS证明△GAE≌△FAE即可；（2）将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．在△NM′D中依据勾股定理可证明NM′2=ND2+DM′2 ， 接下来证明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′证明即可．
【考点精析】利用正方形的性质和旋转的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．