【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段CD的长；
（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？

参考答案：

【答案】
（1）

解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10．

∵CD⊥AB，

∴S△ABC= BCAC= ABCD．

∴CD= = =4.8．

∴线段CD的长为4.8．


（2）

解：由题可知有两种情形，

设DP=t，CQ=t．则CP=4.8﹣t．

①当PQ⊥CD时，如图a

∵△QCP∽△△ABC

∴ = ，即 = ，

∴t=3；

②当PQ⊥AC，如图b．

∵△PCQ∽△ABC

∴ = ，即 = ，解得t= ，

∴当t为3或 时，△CPQ与△△ABC相似；


（3）

解：①若CQ=CP，如图1，

则t=4.8﹣t．

解得：t=2.4．

②若PQ=PC，如图2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，

∴QH=CH= QC= ．

∵△CHP∽△BCA．

∴ = ．

∴ = ，解得t= ．

③若QC=QP，

过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．

同理可得：t= ．

综上所述：当t为2.4秒或 秒或 秒时，△CPQ为等腰三角形．


【解析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论；（3）根据题意画出图形，分CQ=CP，PQ=PC，QC=QP三种情况进行讨论．
【考点精析】通过灵活运用等腰三角形的判定和勾股定理的概念，掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．

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