Question

【题目】如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．

（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；

（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．

（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝，理由见解析；（3）点M的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP为等腰直角三角形，从而求得答案；

（2）根据对称的性质得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B＝45°；

（3）分类讨论：分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时，点M的坐标的情况；过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.

（1）∵AB∥x轴，△APB为等腰直角三角形，

∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，

∴△AOP为等腰直角三角形，

∴OA＝OP＝4．

∴t＝4÷1＝4（秒），

故t的值为4．

（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，

∵点A关于x轴的对称点为A′，

∴PA＝PA'，

又AP＝PB，

∴PA＝PA'＝PB，

∴∠PAA'＝∠PA'，∠PBA'＝∠PA'B，

又∵∠PAB+∠PBA＝90°，

∴∠PAA'+∠PA'A+∠PA'B+∠PBA'

＝180

90°

=90°，

∴∠AA'B＝45°，

即∠OA'B＝45°；

（3）当t＝3时，M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，

①如图3，若△ABP≌△MBP，

则AP＝PM，过点M作MD⊥OP于点D，

∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，

∴△AOP≌△MDP（AAS），

∴OA＝DM＝4，OP＝PD＝3，

∴M的坐标为：（6，-4）．

②如图4，若△ABP≌△MPB，则，

过点M作M⊥x轴于点，过点作⊥x轴于点，过点作⊥轴于点，

∵△APB为等腰直角三角形，则△MPB也为等腰直角三角形，

∴∠BAP＝∠MPB=45，

∵，

∴

∴

∴

∵⊥x轴⊥轴

∴四边形为矩形，

∴，则

在和中

∠BAF＝45+，∠MPE＝45+，

∴∠BAF＝∠MPE

∵

∴

∴

∴M的坐标为：（4，7），

③如图5，若△ABP≌△MPB，则，

过点M作M⊥x轴于点，过点作⊥x轴于点，过点作⊥轴于点，

∵△APB为等腰直角三角形，则△MPB也为等腰直角三角形，

∴∠BAP＝∠MPB=45，

∵，

∴

∴

∴

∵⊥x轴⊥轴

∴四边形为矩形，

∴，则

在和中

∵⊥轴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴M的坐标为：（10，﹣1）．

综合以上可得点M的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．