Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．

（1）求点C，D的坐标及S四边形ABDC；

（2）在y轴上是否存在一点Q，连接QA，QB，使S△QAB＝S四边形ABDC若存在这样一点，求出点Q的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）如图②，点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合），求证：∠DCP+∠BOP＝∠CPO．

Answer 1

【答案】（1）点C（0，2），点D（4，2），S四边形ABDC＝8；（2）存在；Q点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）见解析．

【解析】

（1）根据平移的性质求出点C，D的坐标，再证明四边形ABDC是平行四边形，根据平行四边形的面积公式求解即可；

（2）设Q坐标为（0，m），列出方程求出m的值即可；

（3）作PE∥CD，根据平移的性质可得CD∥PE∥AB，再根据平行线的性质即可证明∠DCP+∠BOP＝∠CPO．

（1）∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，

∴点C（0，2），点D（4，2），AB＝4，AB∥CD，AB＝CD，

∴OC＝2，四边形ABDC是平行四边形，

∴S四边形ABDC＝4×2＝8；

（2）设Q坐标为（0，m），

∴×4×|m|＝8，

解得m＝±4

∴Q点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；

（3）如图，作PE∥CD，

由平移可知：CD∥AB，

∴CD∥PE∥AB，

∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，

∴∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO．