Question

【题目】已知二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）．

（1）求证：此二次函数的图象与x轴总有交点；

（2）如果此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，求正整数m的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）正整数m的值是1或2．

【解析】

试题分析：（1）令y=0，使得二次函数变为一元二次方程，然后求出方程中△的值，即可证明结论；

（2）令y=0，使得二次函数变为一元二次方程，然后对方程分解因式，又因此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，从而可以求得符合要求的正整数m的值．

解：（1）证明：∵二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），

∴当y=0时，0=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），

△=[﹣（m+2）]2﹣4×m×2=m2+4m+4﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2≥0

∴0=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）有两个实数根，

即二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）的图象与x轴总有交点；

（2）∵二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），

∴当y=0时，0=mx2﹣（m+2）x+2=（mx﹣2）（x﹣1），

∴，

又∵此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，

∴正整数m的值是：1或2，

即正整数m的值是1或2．