Question

【题目】如图，在ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形． （Ⅰ）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
（Ⅱ）若菱形ABEF的周长为16，AE=4 ，求∠C的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在△AEB和△AEF中， ，
∴△AEB≌△AEF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（Ⅱ）如图，连结BF，交AE于G．
∵菱形ABEF的周长为16，AE=4 ，
∴AB=BE=EF=AF=4，AG= AE=2 ，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．
在直角△ABG中，∵∠AGB=90°，
∴cos∠BAG= = = ，
∴∠BAG=30°，
∴∠BAF=2∠BAE=60°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAF=60°．

【解析】（Ⅰ）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明； （Ⅱ）连结BF，交AE于G．根据菱形的性质得出AB=4，AG= AE=2 ，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．然后解直角△ABG，求出∠BAG=30°，那么∠BAF=2∠BAE=60°．再根据平行四边形的对角相等即可求出∠C=∠BAF=60°．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质的相关知识点，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能正确解答此题．