Question

【题目】如图，抛物线y=ax2﹣ x﹣2（a≠0）的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

方法一：解：将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：

0=16a﹣ ×4﹣2，即：a= ；

∴抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣2

（2）

方法一：解：由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4，

即：OC2=OAOB，又：OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；

所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（ ，0）

方法二：

解：∵y= （x﹣4）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（4，0）．C（0，﹣2），

∴KAC= =﹣2，KBC= = ，

∴KAC×KBC=﹣1，∴AC⊥BC，

∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，△ABC的外接圆的圆心是AB的中点，△ABC的外接圆的圆心坐标为（ ，0）

（3）

方法一：解：已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y= x﹣2；

设直线l∥BC，

则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当 直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

x+b= x2﹣ x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；

∴4﹣4× （﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；

∴直线l：y= x﹣4．

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：

，

解得：

即 M（2，﹣3）．

过M点作MN⊥x轴于N，

S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB= ×2×（2+3）+ ×2×3﹣ ×2×4=4

方法二：

解：过点M作x轴的垂线交BC′于H，

∵B（4，0），C（0，﹣2），

∴lBC：y= x﹣2，

设H（t， t﹣2），M（t， t2﹣ t﹣2），

∴S△MBC= ×（HY﹣MY）（BX﹣CX）= ×（ t﹣2﹣ t2+ t+2）（4﹣0）=﹣t2+4t，

∴当t=2时，S有最大值4，

∴M（2，﹣3）．

【解析】方法一：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC的面积可由S△MBC= BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．
方法二：（1）略．（2）通过求出A，B，C三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC，从而求出圆心坐标．（3）利用三角形面积公式，过M点作x轴垂线，水平底与铅垂高乘积的一半，得出△MBC的面积函数，从而求出M点．
【考点精析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点和三角形的面积的相关知识点，需要掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．；三角形的面积=1/2×底×高才能正确解答此题．