Question

【题目】在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：

其中m、n为正整数，且m>n.

(1)观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长?说明你的理由．

(2)探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a=___，b=___，c=___.

(3)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形?如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.

Answer 1

【答案】（1）能，理由见解析；（2）m2+n2，2mn，m2-n2；（3）一定，理由见解析.

【解析】

（1）计算出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理即可判断；
（2）根据给出的数据总结即可；
（3）分别计算出a2、b2、c2，根据勾股定理的逆定理进行判断．

解：（1）当m=2，n=1时，a=5、b=4、c=3，
∵32+42=52，
∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；
（2）观察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2-n2；
（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，
∵a2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4，
b2+c2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，
∴a2=b2+c2，
∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．