Question

【题目】在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．
（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？
（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；
（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣ 的图象上，直线AB经过点P（ ， ），求此抛物线的表达式．

Answer 1

【答案】
（1）解：不一定，

设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．

①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，

②当ab≠0时，由 可得 ，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数 （k≠0）的图象上；

（2）解：由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．

则有 解得 ，

∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；

（3）解：设点A（p，q），则 ，

∵直线AB经过点P（ ， ），由（2）得 ，

∴p+q=1，

∴ ，

解并检验得：p=2或p=﹣1，

∴q=﹣1或q=2，

∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），

将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，

∴ 解得 ，

∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．

【解析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由 可得 ，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则 ，由直线AB经过点P（ ， ），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法．