Question

【题目】为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．

采购数量（件）	1	2	…
A产品单价（元/件）	1480	1460	…
B产品单价（元/件）	1290	1280	…

（1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y1（元/件），求y1与x的关系式；
（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的 ，且A产品采购单价不低于1200元，求该商家共有几种进货方案；
（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．

Answer 1

【答案】
（1）解：设y1与x的关系式y1=kx+b，

由表知 ，

解得k=﹣20，b=1500，

即y1=﹣20x+1500（0＜x≤20，x为整数）

（2）解：根据题意可得

，

解得11≤x≤15，

∵x为整数，

∴x可取的值为：11，12，13，14，15，

∴该商家共有5种进货方案

（3）解：解法一：y2=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

令总利润为W，

则W=（1760﹣y1）x+（20﹣x）×[1700﹣（10x+1100）]=30x2﹣540x+12000，

=30（x﹣9）2+9570，

∵a=30＞0，

∴当x≥9时，W随x的增大而增大，

∵11≤x≤15，

∴当x=15时，W最大=10650；

解法二：根据题意可得B产品的采购单价可表示为：

y2=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

则A、B两种产品的每件利润可分别表示为：

1760﹣y1=20x+260，

1700﹣y2=﹣10x+600，

则当20x+260＞﹣10x+600时，A产品的利润高于B产品的利润，

即x＞ =11 时，A产品越多，总利润越高，

∵11≤x≤15，

∴当x=15时，总利润最高，

此时的总利润为（20×15+260）×15+（﹣10×15+600）×5=10650．

答：采购A种产品15件时总利润最大，最大利润为10650元

【解析】（1）抓住已知产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，因此设函数解析式，将表中的两组对应值代入求解即可。
（2）此小题的不等关系是：采购A产品的数量≥B产品数量的 ，且A产品采购单价≤1200，建立不等式组，求出其解集，找出整数解，即可求得进货方案。
（3）解法一、先写出总利润W与x的函数关系式，求出其顶点坐标，根据二次函数的性质，及自变量的取值范围求得结果；方法二、根据题意可得B产品的采购单价y与x的函数关系式，再表示出A、B两种产品的每件利润，建立不等式，求出当x=15时，总利润最高，即可求出最大利润。
【考点精析】通过灵活运用确定一次函数的表达式和二次函数的最值，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此题．