Question

【题目】已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连结MN，作AH⊥MN，垂足为点H

（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；

（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；

小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？

Answer 1

【答案】（1）AB=AH，理由见解析；（2）6

【解析】（1）延长CB至E使BE=DN，连接AE，由三角形全等可以证明AB=AH；
（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，又，所以四边形AEGF是正方形，设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，则BG=x2；CG=x3；BC=2+3=5，在Rt△BGC中，解之得 所以AD的长为6．

(1)答：AB=AH，

证明：延长CB至E使BE=DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴

∴

又∵AB=AD，

∵在△ABE和△ADN中，

，

∴△ABE≌△ADN（SAS），

∴∠1=∠2，AE=AN，

∵

∴

∴，

即

∵在△EAM和△NAM中，

，

∴△EAM≌△NAM（SAS），

又∵EM和NM是对应边，

∴AB=AH(全等三角形对应边上的高相等)；

(2)作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，

∵AD是△ABC的高，

∴

∴

又∵

∴，

延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，

又∵AE=AD=AF

∴四边形AEGF是正方形，

由(1)、(2)知：EB=DB=2，FC=DC=3，

设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，

∴BG=x2；CG=x3；BC=2+3=5，

在Rt△BGC中,

解得

故AD的长为6.