Question

【题目】如图，已知四边形ABFC为菱形，点 D、A、E在直线l上，∠BDA＝∠BAC＝∠CEA．

（1）求证：△ABD≌△CAE；

（2）若∠FBA＝60°，连结DF、EF，判断△DEF的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△DEF是等边三角形，理由见解析

【解析】（1）利用菱形的性质得出AB=AC，进而得出∠2=∠3，即可利用AAS证明△ABD≌△CAE；
（2）易证△ABF与△ACF均为等边三角形，然后证明△FBD≌△FAE，则DF=EF，∠BFD=∠AFE，从而求得∠DFE的度数，即可证得：△DEF是等边三角形．

(1)证明：∵四边形ABFC为菱形，

∴AB=AC.

∵∠BDA=∠BAC=∠CEA，

又∵

∴∠2=∠3.

在△ABD和△CAE中,

∴△ABD≌△CAE(AAS)；

(2)答：△DEF是等边三角形.

连结AF，

∵四边形ABFC为菱形,

∴△ABF与△ACF均为等边三角形，

∴BF=AF,

∵∠2=∠3，

∴∠FBA+∠2=∠FAC+∠3，即∠FBD=∠FAE，

∵△ABD≌△CAE，

∴BD=AE.

在△FBD和△FAE中，

∴△FBD≌△FAE，

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE.

∵

∴ 即

∴△DEF是等边三角形.