Question

【题目】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC延长线上，连接AD，过B作BE⊥AD，垂足为E，交AC于点F，连接CE．

（1）求证：CF=CD；
（2）求证：DADE=DBDC；
（3）探究线段AE，BE，CE之间满足的等量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BE⊥AD，∠ACB=90°，

∴∠CBF=∠CAD=90°﹣∠D，

在△BCF和△ACD中， ，

∴△BCF≌△ACD，

∴CF=CD；

（2）证明：∵∠FBC=∠CAD，∠D=∠D，

∴△BED∽△ACD，

∴BD：AD=ED：CD，

∴DADE=DBDC；

（3）BE=AE+ CE，

证明：作CG⊥CE交BE于G，

∵∠BEC=45°，

则∠CGE=45°=∠BEC，CG=CE，

∴∠BGC=135°=∠AEC，EG= CE

在△BCG和△ACE中， ，

∴△BCG≌△ACE，

∴BG=AE，

∴BE=BG+EG=AE+ CE．

【解析】（1）根据三角形内角和定理，求出∠CBF=∠CAD，由对应边对应角相等，得到△BCF≌△ACD，根据全等三角形的性质得到对应边CF=CD；（2）根据两角相等得到△BED∽△ACD，得到比例，得到结论DADE=DBDC；（3）根据对应边对应角相等，得到△BCG≌△ACE，得到对应边BG=AE，得出结论BE=BG+EG=AE+CE．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰直角三角形和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．