Question

【题目】在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作、，垂足分别为E、F．

如图，请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？

若点P在DC的延长线上，如图，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？

若点P在CD的延长线上，如图，请直接写出结论．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

试题（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF，理由为：由BE垂直于AP，DF垂直于AP，得到一对直角相等，再由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，且∠BAD为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ABE与三角形DFA全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AF，AE=DF，根据AF-AE=EF，等量代换即可得证；（2）在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF，理由同（1）；（3）在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF，理由同（1）．

试题解析：（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF；

证明：∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE-AF=EF，

∴DF-BE=EF．

（2）在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF；

∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE-AF=EF，

∴DF-BE=EF．

（3）在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF，

理由为：∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE+AF=EF，

∴DF+BE=EF．