Question

【题目】如图，已知平行四边形中，垂直平分线段连接

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1

【解析】

（1）先证明△DOE≌△BOF得到OE=OF，推出四边形BFDE是平行四边形，由EF⊥BD即可得到结论；

（2）过点B作BM⊥AD于M，由等腰直角三角形的性质求出BM=AM=3，再由勾股定理即可求出AE的长.

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE，∠EDB=∠FBD，

∵垂直平分线段BD，

∴OB=OD，

∴△DOE≌△BOF，

∴OE=OF，

∴四边形是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形是菱形；

（2）如图，过点B作BM⊥AD于M，

∵，

∴∠BAM=45°，

∵∠AMB=90°，，

∴AM=BM=3，

∵四边形BEDF是菱形，

∴BE=DE，

∵,

∴,

∴AE=1.