Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）AB=4，与y轴交于点C，OC=OA，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积；
（3）已知H（0，﹣1），点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F，若BF=BC，求点G的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由抛物线y=ax2+2ax+c，可得C（0，c），对称轴为x=﹣ =﹣1，

∵OC=OA，

∴A（﹣c，0），B（﹣2+c，0），

∵AB=4，

∴﹣2+c﹣（﹣c）=4，

∴c=3，

∴A（﹣3，0），

代入抛物线y=ax2+2ax+3，得

0=9a﹣6a+3，

解得a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3

（2）解：如图1，∵M（m，0），PM⊥x轴，

∴P（m，﹣m2﹣2m+3），

又∵对称轴为x=﹣1，PQ∥AB，

∴Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），

又∵QN⊥x轴，

∴矩形PQNM的周长

=2（PM+PQ）

=2[（﹣m2﹣2m+3）+（﹣2﹣m﹣m）]

=2（﹣m2﹣4m+1）

=﹣2（m+2）2+10，

∴当m=﹣2时，矩形PQNM的周长有最大值10，

此时，M（﹣2，0），

由A（﹣3，0），C（0，3），可得

直线AC为y=x+3，AM=1，

∴当x=﹣2时，y=1，即E（﹣2，1），ME=1，

∴△AEM的面积= ×AM×ME= ×1×1=

（3）解：如图2，连接CB并延长，交直线HG与Q，

∵HG⊥CF，BC=BF，

∴∠BFC+∠BFQ=∠BCF+∠Q=90°，∠BFC=∠BCF，

∴∠BFQ=∠Q，

∴BC=BF=BQ，

又∵C（0，3），B（1，0），

∴Q（2，﹣3），

又∵H（0，﹣1），

∴QH的解析式为y=﹣x﹣1，

解方程组 ，可得

或 ，

∴点G的坐标为（ ， ）或（ ， ）．

【解析】（1）根据抛物线y=ax2+2ax+c，可得C（0，c），对称轴为x﹣1，再根据OC=OA，AB=4，可得A（﹣3，0），最后代入抛物线y=ax2+2ax+3，得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）根据点M（m，0），可得矩形PQNM中，P（m，﹣m2﹣2m+3），Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），再根据矩形PQNM的周长=2（PM+PQ）=﹣2（m+2）2+10，可得当m=﹣2时，矩形PQNM的周长有最大值10，M的坐标为（﹣2，0），最后由直线AC为y=x+3，AM=1，求得E（﹣2，1），ME=1，据此求得△AEM的面积；（3）连接CB并延长，交直线HG与Q，根据已知条件证明BC=BF=BQ，再根据C（0，3），B（1，0），得出Q（2，﹣3），根据H（0，﹣1），求得QH的解析式为y=﹣x﹣1，最后解方程组 ，可得点G的坐标．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值和矩形的性质的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．