Question

【题目】阅读下列材料、并完成任务.

无限循环小数化分数

我们知道分数写出小数形式即，反过来，无限循环小数写成分数形式即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式.

先以无限循环小数为例进行讨论.

设，由可知，，所以，解方程，得，于是，得.

再以无限循环小数为例，做进一步的讨论.

无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法.

设，由可知，.

所以.解方程，得，于是，.

类比应用（直接写出答案，不写过程）

① .② .③ .

能力提升

将化为分数形式，写出过程.

拓展探究

① ；

②比较大小 1（填“”或“”或“”）；

③若，则 .

Answer 1

【答案】类比应用:①；②；③；能力提升:;拓展探究：①;②；③

【解析】

类比应用：根据转化分数的方法，设=x，仿照例题的解法即可得出结论；根据转化分数的方程，分别设=x，=x，仿照例题的解法即可得出结论；
能力提升：设=x,由1000x-x=213求解；

拓展探究：①设x,则10x=20.19191919…,1000x=2019.191919…,1000x-10x=1999，即可得出结果；②先将化成分数即可得出结果；③设=x,y①,则1000x =②,由②-①式可得出结果.

类比应用

解：①设=x，则，所以，解方程，得，得=；

②设=x，，.所以.解方程，得，=；

③设=x，则，.所以.解方程，得.

故答案为：①；②；③；

能力提升

解：设，，

，

，

，

于是.

拓展探究：

①设x,则10x=20.19191919…,1000x=2019.191919…,1000x-10x=1999,所以x=;

②设x,则10x=9.9999…,得10x-x=9,解得x=1,故=1；

③设=x,y,

则1000x=,

所以1000x-y=138,

又x=，所以y=.

故答案为：①；②=；③.