Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入y=ax2+bx+c得， ，

∴ ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2﹣ bx+2，

对称轴为：直线x=﹣ ；

（2）解：存在，

∵AD=2t，

∴DF=AD=2t，

∴OF=4﹣4t，

∴D（2t﹣4，0），

∵直线AC的解析式为：y= x+2，

∴E（2t﹣4，t），

∵△EFC为直角三角形，

①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，

∴ ，即 = ，

解得：t= ，

②当∠FEC=90°，

∴∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴DE= AF，即t=2t，

∴t=0，（舍去），

③当∠ACF=90°，

则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，

解得：t= ，

∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t= 或 ；

（3）解：∵B（1，0），C（0，2），

∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，

当D在y轴的左侧时，S= （DE+OC）OD= （t+2）（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2），

当D在y轴的右侧时，如图2，

∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，

S= （DE+OC）OD= （﹣8t+10+2）（4t﹣4）=﹣16t2+40t﹣24 （2＜t＜ ）．

【解析】（1）利用待定系数法把A、B坐标代入解析式即可；（2）△EFC为直角三角形时须分类讨论：①∠EFC=90°②∠FEC=90°，③∠ACF=90°三种情况讨论；（3）四边形DECO 的位置以y 轴为分界线，进行分类讨论：D在y轴的左侧与D在y轴的右侧，OD的表达式发生变化，须分类讨论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．