Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，E为AB的中点，连接CE，BD，过点E作FE⊥CE于点E，交AD于点F，连接CF，已知2AD=AB=BC．

（1）求证：CE=BD；
（2）若AB=4，求AF的长度；
（3）求sin∠EFC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵E为AB的中点，

∴AB=2BE，

∵AB=2AD，

∴BE=AD，

∵∠A=90°，AD∥BC，

∴∠ABC=90°，

在△ABD与△BCE中， ，

∴△ABD≌△BCE，

∴CE=BD；

（2）解：∵AB=4，

∴AE=BE=2，BC=4，

∵FE⊥CE，

∴∠FEC=90°，

∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠BEC=90°，

∴∠AFE=∠BEC，

∴△AEF∽△BCE，

∴ ，

∴AF=1；

（3）解：∵△AEF∽△BCE，

∴ ，

∴AF= AE，

设AF=k，则AE=BE=2k，BC=4k，

∴EF= = k，

CE= =2 k，

∴CF= =5k，

∴sin∠EFC= =

【解析】（1）由E为AB的中点，得到AB=2BE，等量代换得到BE=AD，推出△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质即可得到CE=BD；
（2）根据已知条件得到AE=BE=2，BC=4，根据余角的性质得到∠AFE=∠BEC，根据相似三角形的性质即可得到AF的长度；
（3）根据相似三角形的性质得到AF=AE，设AF=k，则AE=BE=2k，BC=4k，根据勾股定理得到EF、CE、CF的值，再由三角函数的定义即可得到sin∠EFC的值．
【考点精析】利用平行线的性质和勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．