Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．

（1）若∠BCD=36°，BC=10，求BD的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：2CE2=ABEF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BC是直径，

∴∠BDC=90°，

在Rt△BCD中，∵BC=10，∠BCD=36°，

∴BD=BCsin36°=10sin36°≈5.9．

（2）解：连接OD．

∵AE=EC，OB=OC，

∴OE∥AB，

∵CD⊥AB，

∴OE⊥CD，

∵OD=OC，

∴∠DOE=∠COE，

在△EOD和△EOC中，

，

∴△EOD≌△EOC，

∴∠EDO=∠ECO=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

（3）解：∵OE⊥CD，

∴DF=CF，∵AE=EC，

∴AD=2EF，

∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ACD∽△ABC，

∴AC2=ADAB，

∵AC=2CE，

∴4CE2=2EFAB，

∴2CE2=EFAB．

【解析】（1）在直角三角形中，由斜边求对边，用正弦；（2）要证DE是切线，连结OE，证∠EDO是直角，可证△EOD≌△EOC，得出∠EDO=∠ECO=90°；（3）要证2CE2=ABEF，可从入手，CE2=,所以2CE2=2
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与圆的三种位置关系的相关知识，掌握直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．