Question

【题目】在中，，点在射线上（与两点不重合），以为边作正方形，使点与点在直线的异侧，射线与直线相交于点.

（1）若点在线段上，如图（1），判断：线段与线段的数量关系： ，位置关系： .

（2）如图（2），①若点在线段的延长线上，（1）中判断线段与线段的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；

②当为中点，时，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）数量关系：，位置关系：；（2）①仍然成立，证明详见解析；②

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=45°，由正方形的性质得到AD=AF，∠DAF=90°，由角的和差得到∠BAD=∠CAF，推出△BAD≌△CAF（SAS），根据全等三角形的性质得到∠ACF=∠B=45°，BD=CF，证得BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，即可得到结论；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=45°，由正方形的性质得到AD=AF，∠DAF=90°，由角的和差得到∠BAD=∠CAF，推出△BAD≌△CAF（SAS），根据全等三角形的性质得到∠ACF=∠B=45°，BD=CF，证得BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，即可得到结论；②如图（2），过点A作AM⊥BD于M，根据勾股定理可得AD= .

（1）数量关系：，位置关系：；
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠B=45°，BD=CF，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴BC⊥CG，
同理△ADC≌△AFG，
∴CD=GF，
∴BD+CD=CF+GF，
即BC=CG，
故答案为：BC=CG，BC⊥CG；
（2）①仍然成立

四边形是正方形，

，

，

，

，

，

，

，

.

② 与①同理，可得BD=CF，BC=CG，BC⊥CG，
∵BC=2,G为CF中点，
∴CD=CG=FG=BC=2，
如图（2），过点A作AM⊥BD于M，
∴AM=1，MD=3，
∴AD=