Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC的方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（s），其中0＜t＜2，解答下列问题：

（1）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？

（2）是否存在某一时刻t，线段PQ将△ABC的面积分成1：2两部分？若存在，求出此时的t，若不存在，请说明理由；

（3）点P、Q在运动的过程中，△CPQ能否成为等腰三角形？若能，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝或；（2）存在，t＝；（3）能，t＝或t＝．

【解析】

试题分析：（1）分两种情况讨论：①当∠PQA=∠C=90时，△PQA∽△BCA，由题意得：AB=5，PB=t，PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形对应边成比例，即，求出t值；②当∠QPA=∠C=90时，△PQA∽△CBA，由题意得：PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形对应边成比例，即，求出t值；（2）先把三角形ABC的面积求出来，过点P作PH⊥CA，垂足为点H，利用三角形相似把高PH用含有t的式子表示出来，再把三角形APQ的面积用含有t的式子表示出来，若线段PQ将△ABC的面积能分成1：2两部分，则三角形APQ的面积等于△ABC面积的三分之一，或者三分之二，建立方程求解；（3）当△CPQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①当PC＝PQ时，过点P作PH⊥CA，垂足为点H，利用△PHA∽△BCA，建立对应边成比例求出t值；②当CP＝CQ时，过点P作PM⊥CB，垂足为点M，由△BMP∽△BCA可得：BM＝t，MP＝t，∴CM＝3－t．在Rt△PMC 中，由勾股定理建立关于t的一元二次方程，求得t值，并讨论t值是否符合题意；③当QP＝QC时，过点Q作PN⊥AB，垂足为点N，由△AQN∽△ABC可得：NQ＝t，NA＝t， ∴PN＝5－t－t＝5－t．在Rt△QNP 中，由勾股定理建立关于t的一元二次方程，看是否存在t值且符合题意．

试题解析：（1）先由勾股定理算得AB=5，分两种情况讨论：①如图1，

当△PQA∽△BCA时，∠PQA=∠C=90，PQ∥BC，AB=5，PB=t，PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形对应边成比例，即，有 ＝， ∴ t＝；②如图2，

当∠QPA=∠C=90时，△PQA∽△CBA，由题意得：PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形对应边成比例，即，有＝ ，∴t＝．又∵0＜t＜2，∴t＝或都符合题意，所以当t＝或时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似．（2）过点P作PH⊥CA，垂足为点H，如图3：

则有△PHA∽△BCA， 对应边成比例：即 ＝，∴PH＝（5－t）．∴S△APQ＝×2t×（5－t）＝－t2＋3t．而S△ABC=3×4÷2=6，若线段PQ将△ABC的面积分成1：2两部分，则S△APQ＝ S△ABC＝×6＝2或S△APQ＝ S△ABC＝×6＝4，即：－t2＋3t＝2或－t2＋3t＝4．①当－t2＋3t＝2时，整理得：3t2－15t＋10＝0，t 1＝ （t 1＝＞2）（不合题意舍去），t 2＝ ，∴t= 时线段PQ将△ABC的面积分成1：2两部分；②当－t2＋3t＝4时，整理得：3t2－15t＋20＝0，∵△＜0，∴t无解．综上所述t＝时线段PQ将△ABC的面积分成1：2两部分；

（3）若△CPQ为等腰三角形，则分三种情况讨论：①如图4，

当PC＝PQ时，过点P作PH⊥CA，垂足为点H，由三线合一可知：HQ＝（4-2t）÷2=2－t，又△PHA∽△BCA，所以，即 = ，解得：t＝；②如图5，

当CP＝CQ时，过点P作PM⊥CB，垂足为点M，由△BMP∽△BCA可知：，即BM＝t，，即MP＝t，∴CM＝3－t．在Rt△PMC中，PC=CQ=4-2t，由勾股定理得：（t）2＋（3－t）2＝（4－2t）2，整理得：15t2－62t＋35＝0，∴t＝，即t1＝，t 2＝，∵t 1＝＞2．∴t 1＝（舍去），∴t＝．③如图6，

当QP＝QC=4-2t时，过点Q作PN⊥AB，垂足为点N，由△AQN∽△ABC可知：NQ＝t，NA＝t， ∴PN＝5－t－t＝5－t．在Rt△QNP 中，由勾股定理得：（t）2＋（5－t）2＝（4－2t）2 ，整理得：21t2－50t＋45＝0，∵△＝－1280＜0 ，∴t无解．综上所述当t＝或t＝时，△CPQ是等腰三角形．