Question

【题目】问题呈现：

如图 1，在边长为 1 小的正方形网格中，连接格点 A、B 和 C、D，AB 和 CD 相交于点 P，求 tan ∠CPB 的值方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形，观察发现问题中∠ CPB不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 B、 E，可得 BE∥CD，则∠ABE=∠CPB，连接AE，那么∠CPB 就变换到 Rt△ABE 中．问题解决：

（1）直接写出图 1 中 tan CPB 的值为______；

（2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，AB 与 CD 相交于点 P，求 cos CPB 的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）

【解析】

（1）根据平行四边形的判定及平行线的性质得到∠CPB=∠ABE，利用勾股定理求出AE，BE，AB，证明△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，即可求出tan CPB= tan ABE；

（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．通过平行四边形及平行线的性质得到∠CPB=∠MCD，利用勾股定理的逆定理证明△CDM是直角三角形，且∠CDM=90°，即可得到cos∠CPB=cos∠MCD．

解：（1）连接格点 B、 E，

∵BC∥DE，BC=DE，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∴DC∥BE，

∴∠CPB=∠ABE，

∵AE=，BE=，AB=

，

∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，

∴tan∠CPB= tan∠ABE=，

故答案为：2；

（2）如图2所示，取格点M，连接CM，DM，

∵CB∥AM，CB=AM，

∴四边形ABCM是平行四边形，

∴CM∥AB，

∴∠CPB=∠MCD，

∵CM=，CD=，MD=，

，

∴△CDM是直角三角形，且∠CDM=90°，

∴cos∠CPB=cos∠MCD=．