Question

【题目】已知抛物线 y x2 mx 2m 4（m>0）．

（1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；

（2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B（点 A 在点 B 的右侧)，与 y 轴交于点 C，A，B，三点都在圆 P 上．

①若已知 B（-3，0），抛物线上存在一点 M 使△ABM 的面积为 15，求点 M 的坐标；

②试判断：不论 m 取任何正数，圆 P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标，若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①M或或或；②是，圆 P经过 y 轴上的定点（0,1）．

【解析】

（1）令y=0，证明，即可解答；

（2）①将B（-3，0）代入y x2 mx 2m 4，求出抛物线解析式，求出点A的坐标，从而得到AB=5，根据△ABM 的面积为 15，列出方程解答即可；

②求出OA=2，OB=m+2，OC=2（m+2），判断出∠OCB=∠OAF，求出tan∠OCB=，即可求出OF=1，即可得出结论．

解：（1）当y=0时，x2 mx 2m 4=0

∴，

∵m>0，

∴，

∴该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；

（2）①将B（-3，0）代入y x2 mx 2m 4得：

，解得m=1，

∴y x2 x 6，

令y=0得：x2 x 6=0，解得：，

∴A（2,0），AB=5，

设M（n，n2 n 6）

则，即

解得：，

∴M或或或．

②是，圆 P经过 y 轴上的定点（0,1），理由如下：

令y=0，

∴x2 mx 2m 4=0，即

，

∴或，

∴A（2,0），，

∴OA=2，OB=m+2，

令x=0，则y=-2(m+2)，

∴OC=2(m+2)，

如图，∵点A，B，C在圆P上，

∴∠OCB=∠OAF，

在Rt△BOC中，，

在Rt△AOF中，，

∴OF=1，

∴点F（0,1）

∴圆 P经过 y 轴上的定点（0,1）．