Question

【题目】在正方形中，，，是边上一点，连接，过点，作，，垂足分别为，，如图1．

（1）请探究，，这三条线段有怎样的数量关系？请说明理由；

（2）若点在的延长线上，如图2，那么这三条线段的数量关系是 （直接写结果）

（3）若点在的延长线上，如图3，那么这三条线段的数量关系是 （直接写结果）

Answer 1

【答案】(1)BE=DF+EF,理由见解析; （2） DF=BE+EF;（3） EF=DF+BE．

【解析】

（1）如下图，由已知条件易得∠1=∠2，∠AEB=∠DFA=90°，这样结合AB=AD即可证得△ABE≌△DAF，由此可得BE=AF，AE=DF，结合AF=AE+EF即可得到BE=DF+EF；

（2）和（1）同理可证得△ABE≌△DAF，由此可得BE=AF，AE=DF，结合AF=AE-EF即可得到BE=DF-EF；

（3）和（1）同理可证得△ABE≌△DAF，由此可得BE=AF，AE=DF，结合AF=EF-AE即可得到BE=EF-DF.

（1） ．理由如下：

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵在和中，

∴△ABE≌△DAF(AAS)，

∴，，

∴．

（2）如图2，和（1）同理可得△ABE≌△DAF，

∴BE=AF，AE=DF，

又∵AF=AE-EF，

∴BE=DF-EF；

（3）如图3，和（1）同理可证得△ABE≌△DAF，

∴BE=AF，AE=DF，

又∵AF=EF-AE，

∴BE=EF-DF.