Question

【题目】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CF=4，DF= ，求⊙O的半径r及sinB．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OA、OD，如图，

∵点D为CE的下半圆弧的中点，

∴OD⊥BC，

∴∠EOD=90°，

∵AB=BF，OA=OD，

∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，

而∠BFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°，

∴OA⊥AB，

∴AB是⊙O切线；

（2）解：OF=CF﹣OC=4﹣r，OD=r，DF= ，

在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2，即r2+（4﹣r）2=（ ）2，

解得r1=3，r2=1（舍去）；

∴半径r=3，

∴OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1．

在Rt△AOB中，AB2+OA2=OB2，

∴AB2+32=（AB+1）2，

∴AB=4，OB=5，

∴sinB= = ．

【解析】（1）连接OA、OD，如图，根据垂径定理得OD⊥BC，则∠D+∠OFD=90°，再由AB=BF，OA=OD得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，则OA⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O切线；（2）先表示出OF=4﹣r，OD=r，在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+（4﹣r）2=（ ）2 ， 解方程得到r的值，那么OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1． 然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB2+OA2=OB2 ， 即AB2+32=（AB+1）2 ， 解方程得到AB=4的值，再根据三角函数定义求出sinB．