Question

【题目】如图，已知平行四边形中，对角线交于点， 是延长线上的点，且是等边三角形．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，求证：四边形是正方形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得△AOE≌△COE，∴∠AOE=∠COE=90°，∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；

（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=2∠ADO=90°，∴四边形ABCD是正方形．

试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

又∵△ACE是等边三角形，

∴EO⊥AC（三线合一），即AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

又∵△ACE是等边三角形，

∴EO平分∠AEC（三线合一），

∴∠AED=∠AEC=×60°=30°，

又∵∠AED=2∠EAD

∴∠EAD=15°，

∴∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°（三角形的一一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和），

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ADC=2∠ADO=90°，

∴平行四边形ABCD是正方形．