Question

【题目】定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，当∠BAC+∠DAE=180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补三角形”，AM，AN是“顶心距”．

①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE之间的数量关系为AM=　　DE；

②如图3，当∠BAC=120°，BC=6时，AN的长为　　．

猜想论证：

（2）在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形ABCD，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CD=2，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，并求△PBC的“顶心距”的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①； ②3；（2）见解析;（3）见解析.

【解析】

（1）①只要证明△BAC≌△EAD，推出BC=DE，由AM⊥BC，推出BM=CM，推出AM=BC=DE；

②只要证明△AMC≌△DNA，即可解决问题；

（2）结论：DE=2AM，只要证明△AMC≌△DNA即可；

（3）如图4中，结论：存在．连接AC，取AC的中点P，连接PD、PB、作PM⊥BC于M．点P即为所求的点；

（1）①如图2中，

∵AB=AC=AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，

∴△BAC≌△EAD，

∴BC=DE，

∵AM⊥BC，

∴BM=CM，

∴AM=BC=DE．

故答案为．

②如图3中，

∵∠BAC=120°，AB=AC，AM⊥BC，

∴∠CAM=60°，BM=CM=3

∵∠BAC+∠EAD=180°，

∴∠EAD=60°，

∵AE=AD，

∴△EAD是等边三角形，

∴∠D=60°，

∴∠AMC=∠AND=90°，∠CAM=∠D，AC=AD，

∴△AMC≌△DNA，

∴AN=CM=3，

故答案为3．

（2）如图1中，结论：DE=2AM．

∵AD=AE，AN⊥DE，

∴EN=DN，∠DAN=∠NAE，同法可证：∠CAM=∠BAM，

∵∠BAC+∠EAD=180°，

∴∠DAN+∠CAM=90°，

∵∠CAM+∠C=90°，

∴∠DAN=∠C，

∵∠AND=∠AMC=90°，AC=DA，

∴△AMC≌△DNA，

∴AM=DN，

∴DE=2AM．

（3）如图4中，结论：存在．

理由：连接AC，取AC的中点P，连接PD、PB、作PM⊥BC于M．

∵AD=AB，CD=CB，AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，

∴∠ADC=∠ABC=90°，∠DAC=∠BAC=30°，

∴∠ACD=∠ACB=60°，

∵PA=PC，

∴PA=PD=PC=PB，

∴△PCD，△PCB都是等边三角形，

∴∠CPD=∠CPB=60°，

∴∠APD=120°，

∴∠APD+∠CPB=180°，

∴△APD和△PBC是“顶补等腰三角形”，

在等边三角形△PBC中，∵BC=PC=PB=2，PM⊥BC，

∴PM=×2=．