Question

【题目】如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M（m，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）把A（0，﹣2），B（1，0）代入y=k1x+b得，
解得，
所以一次函数解析式为y=2x﹣2；
把M（m，4）代入y=2x﹣2得2m﹣2=4，
解得m=3，
则M点坐标为（3，4），
把M（3，4）代入y=得k2=3×4=12，
所以反比例函数解析式为y=；
（2）存在．
∵A（0，﹣2），B（1，0），M（3，4），
∴AB=，BM==2，
∵PM⊥AM，
∴∠BMP=90°，
∵∠OBA=∠MBP，
∴Rt△OBA∽Rt△MBP，
∴=，即=，
∴PB=10，
∴OP=11，
∴P点坐标为（11，0）．

【解析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）先利用两点间的距离公式计算出AB= ， BM=2 ， 再证明Rt△OBA∽Rt△MBP，利用相似比计算出PB=10，则OP=11，于是可得到P点坐标．